Книги автора: Годбийон К.  (1)

Аннотация

Перевод с французского. Из предисловия автора: Лекции Эли Картана по интегральным инвариантам, которые сохранили удивительную актуальность, положили начало тому, что можно назвать современной аналитической механикой: именно в этих лекциях впервые появились внутренние, а не вариационные формулировки уравнений динамики. Более поздние работы А. Лихнеровича, Ф. Галисо и Ж. Клейна сделали совершенно очевидным, что дифференциальная геометрия является естественным фундаментом классической механики. Первый вклад, вносимый этим геометрическим формализмом, состоит в чрезвычайно четком разграничении двух аспектов механики: гамильтонова и лагранжева. Разумеется, ковариантность уравнений Гамильтона и контравариантность уравнений Лагранжа известны уже давно. В настоящее время первые интерпретируют как динамическую систему на кокасательном расслоении конфигурационного пространства, а вторые - как динамическую систему на касательном расслоении этого пространства. Гамильтонов аспект связан с существованием на кокасательном расслоении канонической симплектической структуры, определенной формой Лиувилля. Техника дифференциального исчисления на многообразиях позволяет в этом случае, следуя идеям Эли Картана, получить внутреннюю формулировку уравнений Гамильтона. Далее, как показал Галисо, можно геометрически интерпретировать классические результаты о первых интегралах и случае интегрируемости. Лагранжев аспект более сложен. Он связан, согласно Ж. Клейну, с существованием на касательном расслоении более богатого дифференциального исчисления, чем на произвольном дифференцируемом многообразии. Действительно, используя геометрическую структуру касательного расслоения, можно определить дифференциальные операторы, которые (снова с помощью техники симплектической геометрии) приводят к уравнениям Лагранжа механической системы. Наконец, связь между этими аспектами обеспечивается преобразованием Лежандра, которое в некотором смысле устанавливает между ними двойственность. Первая часть этой книги представляет собой введение в дифференциальную геометрию: исчисление внешних форм, векторные расслоения, дифференцируемые многообразия, дифференциальное и интегральное исчисление на многообразиях. Предполагается, что читателю известны только элементы линейной алгебры, общей топологии и дифференциального исчислешь (в объеме, например, первого года старшего цикла обучения. Вторая часть посвящена аналитической механике. В ней кроме того, изучается класс дифференциальной формы и излагается геометрия касательного расслоения и дифференциального исчисление на этом расслоении...