Книги автора: Алексеев В. Б.  (2)

Аннотация

Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики --- теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги --- дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь излагаемый материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.
--------------------------------------------------------------------------------
Оглавление
Предисловие................. 5
Введение.................... 7
Глава I. Группы............... 14
§ 1. Примеры................. 14
§ 2. Группы преобразований.......... 18
§ 3. Группы.................. 20
§ 4. Циклические группы........... 24
§ 5. Изоморфизм................ 26
§ 6. Подгруппы................ 28
§ 7. Прямое произведение............ 30
§ 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа... 31
§ 9. Внутренние автоморфизмы......... 33
§ 10. Нормальные подгруппы.......... 35
§ 11. Факторгруппы.............. 33
§ 12. Коммутант................ 38
§ 13. Гомоморфизм............... 40
§ 14. Разрешимые группы........... 44
§ 15. Подстановки............... 47
Глава П. Комплексные числа......... 52
§ 1. Поля и многочлены............ 53
§ 2. Поле комплексных чисел.......... 59
§ 3. Единственность поля комплексных чисел. 63
§ 4. Геометрические представления комплексных
чисел................... 66
§ 5. Тригонометрическая форма комплексных чисел 68
§ 6. Непрерывность............... 71
§ 7. Непрерывные кривые........... 75
§ 8. Отображение кривых. Основная теорема алгебры комплексных чисел......... 80
§ 9. Риманова поверхность функции 84
§ 10. Римановы поверхности более сложных функций................... 95
§11. Функции, выражающиеся в радикалах... 103
§ 12. Группы Галуа многозначных функций... 11О
§ 13. Группы Галуа функций, выражающихся в радикалах.................. 112
§ 14. Теорема Абеля.............. 114
Указания, решения, ответа........... 120
Предметный указатель............. 206

Аннотация

Учебное пособие написано на основе семестрового курса лекций по дискретной математике,читаемого студентам факультета ВМК МГУ им.М.В.Ломоносова.Оно включает в себя введение в такие разделы дискретной математики,как булевы функции,графы,коды,автоматы,реализация булевых функций схемами.Ряд вопросов,представленных в пособии,отсутствует в известном учебнике С.В.Яблонского"Введение в дискретную математику"или изложен по-другому.Пособие может использоваться для чтения курса"Дискретная математика",а также для самостоятельного изучения основ дискретной математики.
Оглавление
Введение
Глава I. Функции алгебры логики
§ 1. Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций
§ 2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме
§ 3. Полные системы.
§ 4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом
§ 5. Понятие замкнутого класса.
§ 6. Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость
§ 7. Класс монотонных функций, его замкнутость
§ 8. Лемма о несамодвойственной функции
§ 9. Лемма о немонотонной функции
§ 10. Лемма о нелинейной функции
§ 11. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики
§ 12. Теорема о максимальном числе функций в базисе алгебры логики
§ 13. Теорема о предполных классах
§ 14. k-значные функции.
Глава II. Основы теории графов
§ 15. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность
§ 16. Деревья. Свойства деревьев
§ 17. Корневые деревья. Верхняя оценка их числа
§ 18. Геометрическая реализация графов.
§ 19. Планарные графы. Формула Эйлера
§ 20. Доказательство непланарности графов К5 и К3,3. Теорема Понтрягина - Куратовского
§ 21. Теорема о раскраске планарных графов в пять цветов
Глава III. Основы теории кодирования
§ 22. Алфавитное кодирование. Алгоритм распознавания взаимной однозначности алфавитного кодирования. Теорема Маркова
§ 23. Неравенство Макмиллана
§ 24. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов
§ 25. Оптимальные коды, их свойства
§ 26. Теорема редукции
§ 27. Коды с исправлением r ошибок.
§28. Коды Хэмминга.
Глава IV. Основы теории управляющих систем
§ 29. Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами
§ 30. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель §31. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка ее сложности
§ 32. Дешифратор. Асимптотика сложности дешифратора. Верхняя оценка сложности реализации произвольной функции алгебры логики
§ 33. Мультиплексор и универсальный многополюсник. Оценки их сложности. Метод Шеннона
Глава V. Основы теории конечных автоматов
§ 34. Автоматы и способы их задания. Единичная задержка
§ 35. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность осуществляемых ими отображений
§ 36. Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки
§ 37. Теорема Мура. Теорема об отличимости состоян